已知TC，如何求解P？

摘要： 在经济学中，已知总成本函数 \( TC \) 和需求函数 \( Q = f(P) \)，求利润最大化时的销售价格 \( P \) 是一个常见的问题，下面将详细解释这一过程，包括步骤...

在经济学中，已知总成本函数 \( TC \) 和需求函数 \( Q = f(P) \)，求利润最大化时的销售价格 \( P \) 是一个常见的问题，下面将详细解释这一过程，包括步骤和必要的数学推导。

一、总收益与总成本的计算

1、总收益（TR）：总收益是销售所有产品所得的收入，计算公式为：

\[

TR = P \times Q

\]

\( P \) 是价格，\( Q \) 是数量。

2、总成本（TC）：总成本是生产这些产品所花费的所有成本，通常由固定成本和可变成本组成，假设总成本函数为：

\[

TC = aQ^2 + bQ + c

\]

\( a, b, c \) 是常数。

3、利润（π）：利润是总收益减去总成本，计算公式为：

\[

\pi = TR TC

\]

代入 \( TR \) 和 \( TC \) 的表达式，得到：

\[

\pi = PQ (aQ^2 + bQ + c)

\]

二、边际收益与边际成本

1、边际收益（MR）：边际收益是指每增加一单位产品所带来的额外收入，计算公式为：

\[

MR = \frac{d(TR)}{dQ}

\]

由于 \( TR = PQ \)，

\[

MR = P + Q \frac{dP}{dQ}

\]

但根据需求函数 \( Q = f(P) \)，我们可以将其反解为 \( P = g(Q) \)，从而：

\[

MR = P + Q \left(\frac{dP}{dQ}\right) \bigg|_{P=g(Q)}

\]

2、边际成本（MC）：边际成本是指每增加一单位产品所带来的额外成本，计算公式为：

\[

MC = \frac{d(TC)}{dQ}

\]

代入 \( TC \) 的表达式，得到：

\[

MC = 2aQ + b

\]

三、利润最大化条件

利润最大化的条件是边际收益等于边际成本，即：

\[

MR = MC

\]

代入上述 \( MR \) 和 \( MC \) 的表达式，可以得到一个关于 \( Q \) 的方程，解这个方程可以得到使利润最大化的数量 \( Q^* \)。

四、求解价格

一旦得到了最优数量 \( Q^\)，可以通过需求函数反解出对应的价格 \( P^* \)，如果需求函数是线性的，如 \( Q = a bP \)，则可以解出

\[

P^* = \frac{a Q^*}{b}

\]

五、示例分析

假设总成本函数为：

\[

TC = 6Q + 0.05Q^2

\]

需求函数为：

\[

Q = 360 20P

\]

我们需要将需求函数转换为反需求函数：

\[

P = 18 \frac{Q}{20}

\]

计算总收益 \( TR \)：

\[

TR = PQ = \left(18 \frac{Q}{20}\right)Q = 18Q \frac{Q^2}{20}

\]

计算边际收益 \( MR \)：

\[

MR = 18 \frac{Q}{10}

\]

计算边际成本 \( MC \)：

\[

MC = 6 + 0.1Q

\]

设置 \( MR = MC \)：

\[

18 \frac{Q}{10} = 6 + 0.1Q

\]

解这个方程：

\[

12 = \frac{Q}{10} + 0.1Q

\]

\[

12 = 0.2Q

\]

\[

Q^* = 60

\]

通过需求函数反解出价格 \( P^\)

\[

P^* = 18 \frac{60}{20} = 15

\]

当产量为60单位时，最优价格为15元。

通过以上步骤，我们可以根据给定的总成本函数和需求函数，计算出使利润最大化的价格和产量，关键在于理解边际收益和边际成本的概念，并利用它们相等的条件来求解最优解，这种方法不仅适用于简单的线性函数，也可以应用于更复杂的非线性情况。